帯域幅から考えるEQのQ値の目安

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ミックス、マスタリングに欠かせないEQ（イコライザー）。

パラメトリックイコライザーの場合、調整する値はゲイン、中心周波数、そしてQの3種類あります。これがグラフィックイコライザーとの最大の違いになっているわけですが、ゲイン、中心周波数は直感的にわかっても、Qってなんだろうって思いませんか？

ソフトウェアで動くパライコにはスペクトルが表示され、わかりやすくなっているものもありますが、音楽的には周波数よりも音程でつかみたいものです。目指すべきは耳で感じられるようになることですが、初心者はもちろん上級者にとっても目安があるのとないのとではいろいろ違ってくると思います。

今回は、Qの定義や計算を通して帯域幅からQに目安を与えてみたいと思います。

Qの定義

電気工学ではおなじみですが、もともと $Q$ は共振の度合いを表す数で、以下の式で定義されます。

$\displaystyle Q = \frac{f_c}{f_2 - f_1}$

ここで、 $f_c$ は中心周波数、 $f_2$ 、 $f_1$ はそれぞれゲインが1/2になる（6 dB変化する）周波数の高い方と低い方です。

また、 $\Delta f = f_2 - f_1$ を帯域幅、より正確には半値（全）幅といいます。その名の通り、EQが影響を及ぼす周波数の範囲をゲインがピークの半分になる幅で表したわけです。理論上は無限の範囲に影響を与えていることになりますが、ゲインが半分になれば影響をおおむね与えていないと考えたのではないでしょうか(？)

計算方法

まず、帯域幅が2オクターブの場合について計算してみます。1オクターブ上がると周波数は2倍になるので、

$\displaystyle Q = \frac{f_c}{f_2 - f_1} \\ \displaystyle = \frac{f_c}{\displaystyle 2f_c - \frac{1}{2}f_c} \\ \displaystyle = \frac{2}{3} \\ \fallingdotseq 0.667$

となります。帯域幅2オクターブに対応するQは約0.667ということがわかります。

次に、一般化して考えます。帯域幅 $\Delta f = f_2 - f_1$ に対応するQを求めましょう。中心周波数 $f_c$ は何になるでしょう。例えば、 $f_1 = 1000\text{ Hz}$ 、 $f_2 = 2000\text{ Hz}$ の中心周波数 $f_c$ は $1500\text{ Hz}$ でしょうか？

実際には、音程は対数になっているので $f_c = 10^{\left(\log_{10} f_1 + \log_{10} f_2\right)/2}$ になります（底はなんでもよい）。

これを整理すると、

$f_c = \sqrt{f_1 f_2}$

です。 $f_1 = 1000 \text{ Hz}$ 、 $f_2 = 2000 \text{ Hz}$ の中心周波数 $f_c$ は約1414 Hz、Qは約1.414になります。同時に、帯域幅1オクターブに対応するQは1.414ということがわかります。

帯域幅からQを求める

$\displaystyle Q = \frac{\sqrt{f_1 f_2}}{f_2 - f_1}$

Qから帯域幅を求める

$f_1 = 1$ として

$\displaystyle \frac{\sqrt{f_2}}{Q} = f_2 - 1$

を解く。

Q早見表

以上のことを踏まえ、主要音程に対してQを計算した結果です。

Semitones	Q
0.721	24
1 (Semitone)	17.310
1.082	16
1.731	10
2 (Whole tone)	8.651
4 (M3)	4.318
7 (P5)	2.456
12 (Octave)	1.414
24 (2 Octaves)	0.667
36 (3 Octaves)	0.404
80.067 (6.672 Octaves)	0.1